Zpracování jednorozměrného statistického souboru

Jednorozměrný statistický (též výběrový) soubor (viz kapitolu "Základní pojmy matematické statistiky") obsahuje hodnoty jediného argumentu (sledovaného znaku). Následující text se výhradně zabývá nejčastějším případem, kdy argumentem je číselná hodnota; sledovaný znak je tedy kvantitativní.

Dále bude X = {x₁, x₂, ... , x_n} značit nějaký jednorozměrný statistický (výběrový) soubor rozsahu n.

Příklad: V rámci environmentálních dopadů na genetické schopnosti flóry, konkrétně reprodukčních schopností jedle, byla zkoumána semena jedlí v delší časové řadě. Následující tabulka obsahuje datový element výzkumu - náhodně vybraných 400 vah semen jedlí v [g] v jednom vegetačním období jedné konkrétní oblasti:

 Tab 5.1: Experimentálně zjištěné váhy semen jedle

Argumentem (sledovaným znakem) je tedy váha semene jedle v [g]. Rozsah souboru je 400. Rozměr souboru je 1.

Základní statistické charakteristiky

Výběrový průměr x' je číselně roven aritmetickému průměru. Je tedy

x' = ( ĺ x_i ) / n

kde n je rozsah souboru.

Příklad: Výběrový průměr souboru s vahami semen jedle je (4,717 + 4,411 + ... + 4,403 + 4,683) / 400 = 1802,521 / 400 = 4,50629.

Výběrový rozptyl s² je číselně roven průměrné kvadratické odchylce od průměru, tj.

s² = ĺ (x_i-x')² / n

kde x' je shora definovaný výběrový průměr. Uvedený vztah lze psát také jako

s² = ( ĺ x_i² - (ĺx_i)²/n ) / n

přičemž tento druhý tvar je lépe využitelný při rutinních výpočtech (rozptyl se spočte jediným průchodem).

Příklad: Výběrový rozptyl souboru s vahami semen jedle je podle prvního vztahu ((4,717-4,50629)² + (4,411-4,50629)² + ... + (4,403-4,50629)² + (4,683-4,50629)²)  / 400 = 0,036676.
K hodnotě rozptylu lze dojít také takto: Součet x_i spočtený při zjišťování průměru je 1802,521. Součet x_i² je 8137,375. Počet je 400. Rozptyl je tedy podle druhého vztahu roven (8137,366 - 1802,520²/400) / 400 = 0,036676.

Medián x_m je podle definice 50%-kvantil, tj. hodnota, "pod kterou" leží nejvýš polovina hodnot souboru a "nad kterou" leží nejvýš polovina hodnot souboru. Při jeho určení se v praxi postupuje následovně:

1. Soubor se uspořádá podle velikosti. Označme takto uspořádaný soubor Y = {y₁, y₂, ... , y_n}; každé y_i je tedy nějaké x_k.

2. Nechť m je celá část podílu n/2: m = [n/2]. Je-li n sudé, je n=2.m, je-li n liché, je n=2.m+1.

3. Je-li n liché, je mediánem hodnota y_m+1. Je-li n sudé, je mediánem hodnota (y_m+y_m++)/2.

Příklad: Medián souboru s vahami semen jedle se zjistí postupem popsaným výše. Nejprve se hodnoty seřadí podle velikosti. Získá se následující posloupnost hodnot:

Tab. 5.2: Tabulka pro výpočet mediánu

"Polovinou" souboru je hranice mezi 200.tým a 201.ním prvkem (prvků je sudý počet). Medián je tedy polovina mezi 4,500 a 4,501, tj. 4,5005.

Dolní a horní kvartil x_D a x_H jsou podle definice 25%-kvantil a 75%-kvantil, tj. hodnoty, "pod kterými" leží nejvýš čtvrtina resp. tři čtvrtiny hodnot souboru a "nad kterými" leží nejvýš tři čtvrtiny resp. čtvrtina hodnot souboru. Při určení dolního kvartilu se v praxi postupuje následovně:

1. Soubor se uspořádá podle velikosti. Označme takto uspořádaný soubor Y = {y₁, y₂, ... , y_n}; každé y_i je tedy nějaké x_k.

2. Nechť m je celá část podílu n/2: m = [n/2]. Je-li n sudé, je n=2.m, je-li n liché, je n=2.m+1.

3. Označme symbolem Z množinu Z = {y₁, y₂, ... , y_m}, tedy "dolní polovinu" uspořádané množiny X bez případného "prostředního" prvku.

4. Nechť k je celá část podílu m/2: k = [m/2]. Je-li m sudé, je m=2.k, je-li m liché, je m=2.k+1.

5. Je-li m liché, je dolním kvartilem hodnota y_k. Je-li m sudé, je dolním kvartilem hodnota y_k+1 - 0,25.(y_k+1-y_k).

Příklad: Dolní kvartil souboru s vahami semen jedle se zjistí postupem popsaným výše. Nejprve se hodnoty seřadí podle velikosti. Získá se posloupnost hodnot, jejíž důležitá část je v následující tabulce:

Tab. 5.3: Tabulka pro výpočet dolního kvartilu

Počet prvků souboru je 400, tedy sudé číslo. Polovina prvků je 200, čtvrtina prvků je 100, vše celá čísla. Je tedy podle bodu 4: k=100, k+1=101. Podle bodu 5 je dolní kvartil roven
      4,379 - 0,25 . (4,739 - 4,738) = 4,37875.

Analogicky při určení horního kvartilu se postupuje následovně:

1. Soubor se uspořádá podle velikosti. Označme takto uspořádaný soubor Y = {y₁, y₂, ... , y_n}; každé y_i je tedy nějaké x_k.

2. Nechť m je celá část podílu n/2: m = [n/2]. Je-li n sudé, je n=2.m, je-li n liché, je n=2.m+1.

3. Označme symbolem Z množinu Z = {y_m+1, y_m+2, ... , y_n}, tedy "horní polovinu" uspořádané množiny X bez případného "prostředního" prvku.

4. Nechť k je celá část podílu m/2: k = [m/2]. Je-li m sudé, je m=2.k, je-li m liché, je m=2.k+1.

5. Je-li m liché, je horním kvartilem hodnota y_k. Je-li m sudé, je dolním kvartilem hodnota y_k+1 - 0,75.(y_k+1-y_k).

Příklad: Horní souboru s vahami semen jedle se zjistí postupem popsaným výše. Nejprve se hodnoty seřadí podle velikosti. Získá se posloupnost hodnot, jejíž důležitá část je v následující tabulce:

Tab. 5.4: Tabulka pro výpočet horního kvartilu

Počet prvků souboru je 400, tedy sudé číslo. Polovina prvků je 200, tři čtvrtiny prvků je 300, vše celá čísla. Je tedy podle bodu 4: k=300, k+1=301. Podle bodu 5 je horní kvartil roven
      4,635 - 0,75 . (4,635 - 4,634) = 4,63425.

Četnostní (frekvenční) tabulka dat

Zápis dat souboru, který obsahuje jednotlivé hodnoty (tak, jako např. tabulka experimentálně zjištěných vah semen jedle v příkladu nahoře), je někdy objemný - zvláště v případech dat, v nichž se hodnoty opakují. V uvedeném příkladu se např. hodnota 4,430 opakuje 4x - stejně jako hodnoty 4,527 a 4,579. Osm jiných hodnot se opakuje 3x, 74 jiných hodnot 2x a zbývajících 148 hodnot je v souboru jen jednou. Data namísto prostého vyjmenování lze zapsat do tzv. četnostní nebo také frekvenční tabulky s obsahem a formátem zřejmým z následujícího příkladu:

Příklad: Četnostní (frekvenční) tabulka shora uvedených experimentálně zjištěných vah semen jedle může mít následující začátek:

Tab. 5.5: Četnostní tabulka dat

Četnostní (frekvenční) tabulka tříd

U mnohých souborů - právě jako v příkladu semen jedlí - se sice o něco zmenší počet (nyní již neopakujících se hodnot), ale ne o moc. V příkladu nahoře je místo 400 (i opakujících se hodnot) hodnot 301 (ale neopakujících se). To je sice úspora 25%, ale stále je 300 hodnot špatně celkově hodnotitelných.

Případ semen jedlí navíc ukazuje na velmi podstatný v praxi uplatňovaný aspekt. Mějme neustále na paměti, že základní statistický soubor tvoří náhodný výběr ze základního souboru. Proto i hodnoty jsou náhodné s nějakým rozložením. Jestliže je rozlišení 0,001 [mm], v podstatě se stejnou pravděpodobností se místo hodnoty 4,521 mohla ve výběru ocitnout hodnota 4,520 nebo 4,522. V praxi se tedy obvykle stanoví nějaký interval, který je z hlediska rozlišení zkoumaného problému významný. U semen jedlí by to mohlo být např. 0,050 [mm] - tedy 50tinásobek minimálního rozlišení. Označme tuto hodnotu d.

Pak lze interval <x_min,x_max> "překrýt" intervalem <a₀,a_k> takovým, že a₀ Ł x_min, x_max Ł a_k a (a_k-a₀)=d.k - interval <a₀,a_k> je tedy možno rozložit na třídy, z nichž každá je intervalem tvaru <a₀+(i-1).d , a₀+i.d) pro i=1, 2, ... , k (poslední interval není polootevřený, ale uzavřený).

Poznámka: Ze statistického hlediska je jedno, zda volíme třídy tvaru <a_i,a_i+1) nebo tvaru (a_i,a_i+1> - v literatuře i v praxi se používá obou způsobů. Důležité je, že každá statistická jednotka padne právě do jednoho intervalu.

Příklad: Interval dat ze shora uvedeného příkladu jedlových semen je <4,001,4,999>. Pro d=0,050 může být "překrývající" interval např. <4,000,5,000> a jednotlivé podintervaly tvořící rozklad po řadě <4,000,4,050), <4,505,4,100), ... , <4,950,5,000>.

Četnostní (frekvenční) tabulka tříd pak udává, kolik hodnot výběrového souboru padne do toho kterého třídního intervalu.

Příklad: Pro shora uvedený rozklad intervalu <4,5> má četnostní (frekvenční) tabulka tříd tvar

 Tab. 5.6: Četnostní tabulka tříd

Četnostní (frekvenční) histogram

Názorným grafickým znázorněním rozložení četnosti ve výběrovém souboru je četnostní histogram. Na osu X je vynášena horní hranice třídy, na osu Y četnost hodnot výběrového souboru v intervalu. Jde o sloupcový graf posledních dvou sloupců předchozí tabulky

Příklad: Četnostní histogram velikostí semen jedle z příkladu dat shora s třídami 0,050 [mm] ukazuje následující obrázek:

Obr. 5.1: Četnostní histogram

Plynulá křivka na obrázku vypovídá o tzv. kumulativních četnostech: kolik hodnot výběrového souboru je menších než uvedená hranice třídy. Na grafu jsou kumulativní četnosti vyjádřeny v procentech; je tedy možno alespoň přibližně zkontrolovat polohy dolního kvartilu (X pro četnost do 25%), mediánu (do 50%) a horního kvartilu (do 75%).

Pro názornost byla do dalšího obrázku přidána křivka aproximující rovnici normální rozdělení pro data z příkladu: Je zřejmé, že data s velkou pravděpodobností nají normální rozdělení.

Obr. 5.2: Četnostní histogram s křivkou normálního rozdělení

Krabicový graf

Velmi populární (protože jednoduchý a přitom s rozumnou vypovídací schopností) je tzv. krabicový graf. Jeho nejjednodušší podoba vypovídá o kvantilech na úrovni 0%, 25%, 50%, 75% a 100%, tedy o minimu, dolním kvartilu, mediánu, horním kvartilu a maximu:

Obr. 5.3: Příklad krabicového grafu

Na krabicovém grafu jsou podstatné nejen polohy popsaných hodnot, ale i výšky jednotlivých částí grafu. Je vhodné si uvědomit, že např. v intervalu vymezeném dolní úsečkou (tj. od minima k dolnímu kvartilu) se nachází 25% všech dat výběrového souboru. Protože dolní úsečka je vyšší než výška spodního (v barvě modrého) obdélníka, mají data od minima k dolnímu kvartilu větší rozptyl než data od dolního kvartilu k mediánu - těch je také 25%!